摘要
斜拉桥施工至成桥阶段时，由于各种因素影响，结构实际线形和内力与理论成桥状态相比，存在一定的误差，通常需要进行索力调整。该文针对斜拉桥在调索阶段的索力调整量计算问题，提出采用一种基于影响矩阵和序列二次规划求解索力调整量的方法。以某大跨度混合梁斜拉桥为背景，首先计算各索力单位变化下结构的线形和内力响应值，得到索力影响矩阵，然后选取合适的目标函数及约束条件，构建索力调整量计算模型，最后引入序列二次规划法求解索力调整量，得到索力调整后的结构内力与线形状态。计算结果表明：该方法计算简便，索力调整后的结构线形与内力均能满足施工控制要求。
Abstract
When the construction of a cable-stayed bridge enters the completion stage， due to various factors， there is a certain error between the actual alignment and internal force of the structure and the theoretical completion state， and it is usually necessary to adjust the cable force. In order to calculate the cable force adjustment of a cable-stayed bridge in the adjustment stage， a method based on an influence matrix and sequential quadratic programming was proposed to solve the cable force adjustment. A large-span hybrid girder cable-stayed bridge was taken as the background， and the alignment and internal force response values of the structure with varying cable units were calculated to obtain the influence matrix of the cable force. Then， suitable objective functions and constraints were selected to construct the calculation model of the cable force adjustment. Finally， the sequential quadratic programming method was introduced to solve the cable force adjustment， and the internal force and alignment state of the structure after the cable force adjustment were obtained. The calculation results show that the method facilitates calculation， and the alignment and internal force of the structure after the cable force adjustment can meet the construction control requirements.
0 引言
混合梁斜拉桥由于其主跨采用钢梁，因此具有跨越能力大的优点，而边跨采用混凝土梁从而起到很好的锚固作用且兼有可降低建桥成本的特点[1]。从 20 世纪 70 年代开始，混合梁斜拉桥以良好的跨越能力、平衡中边跨受力及较好的经济性能等优势而成为极具竞争力的大跨度桥型之一[2]。
大跨度混合梁斜拉桥受力复杂，在施工过程中，由于各种因素的影响，结构实际成桥状态与理论值存在一定的偏差，因此有必要进行索力调整，以保证结构安全及线形平顺。对于结构索力的调整与优化问题，肖汝诚等[3] 将斜拉桥优化的目标函数统一以索力变量与广义影响矩阵来表示，提出索力优化的影响矩阵法。不少学者将影响矩阵法应用于实际工程中的调索，均取得了良好的效果[4-6]。
对于多目标的索力调整问题，仅采用影响矩阵法往往会出现计算出的索力调整量难以实施，计算效率低等问题。因此，部分学者将影响矩阵法与其他方法相结合，将成桥索力优化的问题转化为数学优化模型，将结构内力和线形作为目标函数，并添加多种约束条件，将索力优化问题转化为有约束非线性规划模型[7-11]。但现有的文献研究着眼于合理成桥状态的索力优化，而对施工过程中的索力调整研究较为缺乏。针对现有技术不足，本文以某大跨度混合梁斜拉桥为研究对象，基于影响矩阵法计算单位索力下的结构线形与内力响应，结合序列二次规划法，对全桥索力进行施工阶段的索力调整，使结构的实际成桥状态接近理论成桥状态。
1 斜拉桥索力调整计算的序列二次规划方法
1.1 计算目的
在斜拉桥施工到成桥阶段，实际结构成桥状态存在偏差的情况下，结合影响矩阵法与序列二次规划法，求解斜拉索的索力调整量，以确保索力调整后的最终成桥状态接近目标成桥状态（包括索力状态、主梁和主塔的应力状态、主梁线形、塔顶偏移）。
1.2 影响矩阵法
影响矩阵法基于结构满足线性叠加原理的前提[3]，其基本公式可表示为：
(1)
式中：[K]为影响矩阵；｛X｝为施调向量；｛D｝为受调向量。
以索力调整量为施调向量，结构的线形与内力为受调向量，计算在第 i 根索增加单位索力下，结构线形与内力的 n 个响应值，表示为：
(2)
把全桥所有索的单位变化导致结构响应量组合，即可得到影响矩阵[K]，表示为：
(3)
1.3 索力调整量计算模型
1.3.1 求解量
将索力调整量作为计算模型的未知量进行求解：
(4)
式中：{Tx } 为索力调整量；Txi 为第 i 号索的索力调整量。
1.3.2 目标函数
索力调整前后目标索力向量差值为：
(5)
式中：∆Ti 为第 i 号索目标索力差值；T mi 为第 i 号索的目标索力；T m' i为调索后第 i号索的理论索力。
构建以最小目标索力差值为目标函数：
(6)
1.3.3 约束条件
以结构线形及内力作为约束条件：
(7)
(8)
(9)
式中：| ∆d |为调索后的线形误差；d m 为线形误差限值；| ∆σ |为调索后的应力误差；σm 为应力误差限值； {Ts } 为调索前的实际索力；{Tx } 为索力调整量；{T min } 为索力下限；{T max }为索力上限。
考虑索力的均匀性，索力调整前后目标索力向量差值的标准差 σ 为：
(10)
式中：μ 为 ∆Ti的均值；r为 ∆Ti的最大容许离散值。
1.3.4 计算模型
结合上述目标函数和约束条件，构建索力调整量计算模型如下：
(11)
1.4 实现方法
该问题属于有约束的非线性规划问题，可利用 Matlab 的优化工具箱中的 f min con 函数进行求解[12]。 f min con 函数格式如下：
(12)
式中：fun 为目标函数；x0 为最优解迭代的初始值；A 和 b 为线性约束不等式，A*x ≤ b；Aeq 和 beq 为线性约束等式，Aeq *x = beq；lb 为自变量的下限；u b 为自变量上限；nonlcon 为非线性约束函数。
在 Matlab 中的约束方程为：
(13)
计算流程图1 所示。
图1 索力调整量计算流程图
Figure1 Calculation of cable force adjustment
2 工程实例
2.1 工程背景
2.1.1 工程概况
佛山市主城区的某座大跨度独塔斜拉桥，主桥为单塔双索面混合梁结构，全桥共 40 对索，主塔高 151 m，主桥跨径布置为（65+75+268） m，主梁为混合式箱形梁，中跨主梁为钢箱梁、边跨主梁为预应力混凝土箱梁。桥型布置图如图2、3 所示。
图2 桥型立面布置图（单位：cm）
Figure2 Bridge elevation layout (unit：cm)
图3 横断面布置图（单位：cm）
Figure3 Cross-sectional layout (unit：cm)
采用 Midas Civil有限元分析软件建立全桥模型，主塔、主梁及下部基础均采用梁单元模拟，斜拉索采用桁架单元模拟，弹性模量根据上一阶段的索力通过 Ernst 公式更新计算得到[13]，各部分构件节点不共享，均采用刚性连接进行连接处理[14]，支架采用仅受压弹性支承进行模拟，全桥共 883 个节点，788 个单元。计算模型如图4 所示。
图4 桥梁有限元模型
Figure4 Finite element model of bridge
2.1.2 施工流程
基于设计图纸以及实际施工组织方案，采用正装分析法，对主桥施工过程进行仿真分析计算。有限元模型的计算工况划分如表1 所示。
2.2 实测成桥状态
在第一次全桥索力张拉完毕后，对全桥结构线形及内力状态进行通测，包括索力（表2）、主塔和主梁应力（表3）、主塔顶偏位及主梁线形（表4），并将实际结构状态与理论值的结果进行对比。
主塔应力测试断面如图5 所示。
主梁应力测试断面如图6 所示，其中 L1~L5 为混凝土梁测试断面，L6~L9 为钢梁测试断面，每个断面顶板和底板各 5 个测点。
由上述结果可知：索力最大误差 12%，混凝土主梁部分应力最大误差 1.7 MPa，钢主梁部分应力最大误差 9.0 MPa，塔顶偏移误差 41 mm，钢主梁线形最大误差-109 mm。不能满足规范[15-16] 对结构成桥阶段的线形与内力要求，因此需要进行索力调整。
表1 施工流程划分
Table1 Construction process division
表2 实测成桥索力状态
Table2 Measured cable force state of bridge
表3 实测成桥应力状态
Table3 Measured bridge stress state
表4 实测成桥线形状态
Table4 Measured bridge alignment state
图5 主塔应力测试断面
Figure5 Main tower stress test section
图6 主梁应力测试断面（单位：cm）
Figure6 Main beam stress test section（unit:cm）
2.3 调索方案确定
（1）在 Midas 有限元模型中，对各组索依次增加一个单位力，得到结构各测点的线形与内力响应值，组合得到索力影响矩阵。
（2）依据规范误差要求，索力误差约束在±10% 以内，混凝土主梁、主塔应力约束在±2.0 MPa以内，钢主梁应力约束在±10.0 MPa以内，钢主梁的竖向变形约束在±76 mm以内，塔顶偏移约束在±30 mm以内。
（3）以索力误差为目标函数，结构的线形与应力，索力限值与均匀性作为约束条件，构建 Matlab 计算模型，计算索力调整量。
2.4 计算结果
施工实际调索过程中，调整每 1 对边跨索时同步调整中跨同号索，边中跨 2 对索为一组，分别计算调整全部 20 组索、调整 10 组索以及调整 5 组索的索力调整量，调整后的结构线形与内力结果如图7~11 和表5 所示。
由图7~11 以及表5 可知：
（1）调索后的索力误差均在±10% 以内，能满足误差要求，调整全桥 20 组索，索力的误差更为均匀，调索组数越少，索力误差变化越为剧烈，部分位置存在索力误差的突变。
图7 调索前后索力值
Figure7 Cable force values before and after adjustment
图8 调索前后索力差值百分比
Figure8 Percentage of difference in cable force values before and after adjustment
图9 调索前后主梁应力值
Figure9 Main beam stress values before and after cable force adjustment
图10 调索前后主塔应力值
Figure10 Main tower stress values before and after cable force adjustment
图11 调索前后主梁竖向变形
Figure11 Vertical deformation of main beam before and after cable force adjustment
表5 主塔顶偏移计算结果
Table5 Main tower top offset calculation results
（2）调索后的结构应力变化不大，调整前后混凝土主梁应力变化量均在±2.0 MPa 以内，误差均满足条件。
（3）调索后的主梁线形有明显的改善，调 5 组索主梁最大误差能改善 33 mm，调 10 组索主梁最大误差能改善 44 mm，调 20 组索主梁最大误差能改善 79 mm，调索组数越多，线形改善越明显，调索后的主梁线形误差均能满足控制要求。
（4）调索后的主塔顶偏移误差均在±30 mm 以内，满足误差要求。
综上，基于本文提出的方法能够求解出一组索力调整量，使得索力调整后，结构的线形与内力误差均在允许范围内，满足施工控制要求。
3 结论
针对斜拉桥在调索阶段的索力调整量计算问题，本文提出用一种基于影响矩阵和序列二次规划求解索力调整量的方法。并以一座混合梁斜拉桥为研究算例，该桥施工至成桥阶段时，结构实测线形与内力与理论成桥状态存在一定的误差，部分误差超出限值，故进行索力调整。首先计算各索力单位变化下结构的线形和内力响应值，组成索力影响矩阵，然后选取合适的目标函数及约束条件，构建索力调整量计算模型，最后引入序列二次规划法求解索力调整量，得到索力调整后的结构内力与线形状态。得出以下结论：
（1）基于影响矩阵法和序列二次规划法相结合的方法，调索后的结构线形与内力均能满足施工控制要求，该方法计算简便，能够提高计算效率。
（2）调索前后结构的线形有所改善，结构的应力变化不明显，调索组数越多，索力误差相对更均匀，结构状态更趋近理论成桥状态。
